Sonlu element təhlili: birinci və ikinci dərəcəli elementlər arasındakı fərq nədir?


cavab 1:

Wasfi Zakaria, birinci sifariş elementlərini ikinci sifariş elementlərindən fərqləndirən yanaşmanın mükəmməl təsvirini təqdim etdi.

Daha yüksək bir sifariş əldə etdikdə elementlərə təqdim olunan incə bir mürəkkəblik var.

Həqiqi məkanda üçbucağı nəzərdən keçirək.

Xətti üçbucaqlı element üçün həqiqi koordinatlardakı kanonik forma funksiyası:

P = a + bx + cy (3 parametr və 3 qovşaq)

dP / dx = b və ya x istiqamətindəki uzanma y ilə xətti olaraq dəyişə bilər.

dP / dy = c və ya y istiqamətindəki uzanma x-də xətti olaraq dəyişə bilər.

Bilinear üçbucağın (ikinci sırada) həqiqi koordinatlarında kanonik forma funksiyası:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 parametr və 6 qovşaq)

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Və yenidən simmetrik bir yük davranışımız var.

İndi xətti dörd elementə baxaq:

P = a + bx + cy + dxy (dörd parametr, dörd qovşaq)

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

D / dx və d / dy gərginlik sahələrində asimmetriya olduğunu unutmayın.

İndi biquadratic serendipity elementini (səkkiz düyün) nəzərdən keçirək:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (səkkiz parametr, səkkiz qovşaq)

və gərginlik sahələri ilə müəyyən edilə bilər

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

və yenidən gərginlik sahələri simmetrik deyil.

Üçbucaqlı elementlər (və tetrahedral elementlər i 3D) beləliklə simmetrik genişlənmə sahələrinə (və beləliklə stres sahələrinə) malikdir, dördlü serendipity elementləri isə yoxdur.

Niyə bunun əhəmiyyəti yoxdur?

Təmiz sabit bir yerdəyişmə sahəsini (sabit gərginliyi) nəzərdən keçirək. Bütün elementlər yalnız daimi uzanma müddətinə malikdirlər və hamısı eyni dərəcədə davranırlar.

Bölmə üzərində xətti genişlənməni nəzərdən keçirək (məsələn, əyilmə zamanı). Xətti üçbucaq sabit bir gərgindir və beləliklə addım funksiyaları toplusu olaraq həqiqi gərginliyə uyğundur və çox yavaş birləşir. Müəyyən problemlərə (plastikliyə) görə bu elementlər əslində kilidlənir və düzgün göstərilib. Birləşmə davranışı təkdir. Bununla birlikdə, bilən elementlər x və ya y-da xətti dəyişkən bir gərginlik sahəsini açıq şəkildə təmsil edə bilər və elementlər dərhal bir element üçün birləşirlər.

İndi daha yüksək dərəcəli yerdəyişmə sahələrini, məsələn, kvadrat genişləndirmə sahələrini (son yük altında əyilmə) verən kub yerdəyişmə sahəsini nəzərdən keçirək. Biliyear üçbucaq yerdəyişmə sahəsinə bir sıra kvadrat sahələrə uyğun gəlir və yaxınlaşma nisbətən sürətlidir. Eynilə, genişləndirmə sahəsinin dəyişməsi element üzərində simmetrik olaraq göstərilə bilər və genişləndirmə sahəsi yaxşı davranır. Dörd elementlərə baxaq. Ayrıca, yerdəyişmə sahəsini kvadratik yerdəyişmə sahələrinin məcmusu kimi göstərəcəksiniz və kifayət qədər tez birləşirsiniz. Bununla birlikdə, indi ikinci dərəcəli süzgəc komponentləri var və bunlar forma funksiyalarının törəməsində ikinci sifariş şərtlərini həyəcanlandıra bilər. Yerdəyişmə sahəsi gücləndikcə və daha mürəkkəb olduqda, bu daha yüksək sifariş genişləndirmə sahələri getdikcə stimullaşdırılır. Nəticə salınan suşlar ola bilər (və buna görə də stresslər), aşağıya baxın.

götürülmüşdür:

Son element metodundan istifadə edərək struktur təhlili. Xətti statikalar

Bu daha çox müzakirə olunur:

Serendipity səviyyəsinin stres elementi üçün səkkiz düyün ilə ən az kvadratların hamarlanması

Son element prosesi

Son element metodundan istifadə edərək struktur təhlili. Xətti statikalar

Elementin üzərindəki ən kiçik kvadratları (bu vəziyyətdə düz xətt) hamarlamaq bu problemə çox təsirli bir həlldir.

Təsir:

1) Dördbucaqlar / düzbucaqlılar üçbucaq / tetraedraya nisbətən daha sürətli birləşirlər

2) bilən elementlər xətti elementlərdən daha sürətli birləşir

3) Bilinear (və ya uzun məsafəli və ya ...) dördkünc / düzbucaqlı parazitar gərginlik salınımlarına həssasdır

4) Element üzərində gərginlik / stress sahələrinin ən kiçik kvadrat tənzimlənməsi bu vibrasiyanı azaltmaqda çox təsirli olur


cavab 2:

FEA-da diskretləşmədən sonra, elementin davranışını təmsil etmək üçün istifadə olunan bütün elementlərə bir funksiya (çoxnömrə) təyin olunur. Polinomial tənliklərə üstünlük verilir, çünki asanlıqla fərqlənə və birləşdirilə bilər. Bir elementin qaydası elementi təmsil etmək üçün istifadə olunan çoxbucaqlı tənliyin qaydasına uyğundur.

Xətti bir element və ya birinci dərəcəli elementin yalnız köşelerində qovşaqları vardır. Bu kənar mərkəzli kub quruluşa bənzər bir şeydir.

Bununla birlikdə, ikinci dərəcəli bir element və ya bir kvadrat element, küncdəki düyünlərə əlavə olaraq ortada qovşaqlara malikdir (kənar + bədən + üz mərkəzli kub quruluşu).

Yuxarıdakı diaqramdakı bir xətti elementin hər tərəfində iki düyün var və buna görə elementin davranışını təmsil etmək üçün təyin edilməli olan yalnız bir xətti tənliyə ehtiyac var.

Bununla birlikdə, bir kvadrat elementin üç düyün olduğu üçün davranışını təsvir etmək üçün kvadrat tənliyə ehtiyac duyulur.

Əyri tutmaq istədiyiniz elementlər üçün daha yüksək dərəcəli polinomiyalara üstünlük verilir. Birinci sifariş elementləri əyriliyi aşkar edə bilmir.

Elementin nizamının həndəsə ilə heç bir əlaqəsi yoxdur. Aşağıdakı diaqramda həm birinci, həm də ikinci tərifləmə eyni üçbucaq üçün həyata keçirilə bilər, ancaq ikinci sırada əyriliyi aşkar etmək üçün yaxşı bir şans var.

Mürəkkəb əyrilikləri dəqiq qeyd etmək üçün çox yüksək dərəcəli polinomlar tələb olunur, lakin hesablamaq üçün daha uzun vaxt tələb olunur. Buna görə dəqiqlik dərəcəsi ilə hesablama vaxtı arasında bir uzlaşma tapmaq daha yaxşıdır.

İndi birinci və ikinci dərəcəli elementlər arasındakı qovşaqların sayı barədə danışaq. Düyünlərin sayı Paskalın üçbucağı vasitəsilə əldə edilir.

Aşağıdakı üçbucaqlara aiddir. 0-ci sifariş üçün şərtlərin sayı 1-dir, yəni qovşaqların sayı 1 olmalıdır.

Xətti çoxbucaqlı (birinci dərəcəli çoxnömlü) üçün şərtlərin sayı 3-dür, yəni qovşaqların sayı 3 olmalıdır.

Bir kvadrat (ikinci dərəcəli çoxbucaqlı) üçün şərtlərin sayı 6-dır, qovşaqların sayına uyğun gəlir = 6.

Kvadratlar üçün kvadratı iki üçbucağın əlavə edilməsi kimi qəbul etməliyik. 0-cı sifariş üçün xətti nəticələr aşağıdakı kimidir:


cavab 3:

Birinci sifariş elementləri ümumiyyətlə xətlərin birləşməsindən ibarətdir (yəni FOE-nin quruluşu xətti deferensial tənliklər və ya birinci dərəcəli deferensial tənliklər ilə müəyyən edilir), yəni üçbucaq, tat elementi. Mükəmməl bir kvadrat, düzbucaqlı və s. Kimi həndəsi cəhətdən əvvəlcədən vurulmuş formalarla işləyərkən ən dəqiqdirlər. İstədikləri ərazidə daha az düyün var.

İkinci dərəcəli elementlər əyrilik və əyrilik xətlərindən ibarətdir (yəni SOE-nin qurulması ikinci dərəcəli müdafiə tənlikləri ilə müəyyən edilir). FEA-nın icrası zamanı həndəsi cəhətdən əvvəlcədən sıxılmış, habelə çox mürəkkəb və ya mürəkkəb həndəsi elementlərdə daha böyük dəqiqliyi göstərməyə meyllidirlər


cavab 4:

Elementi izah edən çox funksiyalı funksiyadır. Əslində, ilk sifariş elementlərinin funksiyası var: P (x) = a * x + b

və ikinci dərəcəli elementlər üçün funksiya bu kimi bir şeydir: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Yuxarıdakı şəkildəki elementlərin birinci sıra 1-ci sıradadır, 2-ci sıradakı elementlər isə 2-ci sıradadır.

PS: 2-ci sifariş elementlərinin parabolik şəklini görə bilərsiniz, yəni 1-ci sifariş elementləri sizə verə bilməz.